对 ϵ−δ 语言的思考¶

$$ \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, \text{ such that } 0 < |x-c| < \delta \implies |f(x)-L| < \epsilon $$ 对于定义我们已经很熟悉了，但是这种通过博弈的间接证明和人类的直觉不符，最开始有些难以理解，简单来说就是：无论你怎么攻击我的这个结论（通过定义新的 epsilon)，我都能防御（找一个新的 delta）。因为我能够防御你的一切攻击，所以我的结论必然是成立的。

那么这段证明的魅力在哪呢？我认为，这说明了限制 & 约束（limit & constraint）的魔力。

如果你想做成一件事，那么你需要一个成功的标准，也就是证明中的 L，比如我要考到 95 分，然后有一个误差，大概加减 5 分内我可以接受，所以最后要求能考到 90-100 分。然后为了保证我最后可以达到我想要的标准，我需要一些限制，也就是定义行为边界，比如每日游戏时间不多于 30 分钟，对这一科目的学习时间每天不少于 2 小时。最后我将严格遵守边界行动，达成设定的标准。

这也就是 SMART 原则：

S (Specific - 具体的): 你的 L 是什么？
M (Measurable - 可衡量的): 你的 ϵ 是什么？如何测量？
A (Achievable - 可实现的): 是否存在一个可行的 δ 策略？
R (Relevant - 相关的): 这个目标与你的大方向是否一致？
T (Time-bound - 有时限的): 执行 δ 策略的时间框架是什么？

更巧妙的是，epsilon 和 delta 之间是有关系的，当 epsilon 越小，你需要的约束就会更加严格，但是约束本身和标准（或者目标）不同，约束是灵活的，比如你想减肥，制定目标 3 个月内体重达到 70±1kg。那么你会有多种不同的约束组合：

策略A (饮食主导): 极其严格的饮食控制（比如每天热量 < 1500卡），配合比较温和的运动（比如每周 3 次快走）。
策略B (运动主导): 相对宽松的饮食（每天 < 2000卡），但配合极其高强度的训练（比如每周 5 次 HIIT + 力量训练）。
策略C (平衡策略): 比较严格的饮食（每天 < 1800卡）加上中等强度的运动。

这意味着选择和智慧。你可以根据你自己的情况，选择对你而言成本最低、最可持续、最适合你生活方式的“约束组合”。

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